t分布的定义

如果容量为n的所有可能样本均来自正态分布总体（均值为μ），并且对每个样本都计算出随机变量T的值t，则t值有一个连续型概率分布，称为t分布。

t分布的概率密度函数

t分布是一个分布族，其确切形状由一个被称为自由度v的参数决定，其中，v = n - 1 （n为样本大小）每个整数自由度对应一个分布。t分布有以下几个特征：

1. 每个分布都是钟型且关于均值0对称，并且分布从负无穷到正无穷连续延伸；

2. 当自由度无限时，t分布就是标准正态分布。随着自由度越来越小，曲线就越来越平坦；

3. 一般认为，自由度小于30时，分布与标准分布相差较大。

t分布的概率密度函数和概率求解

在构建置信区间这一节中讲到，如果抽样分布符合正态分布，但由于样本太小而不能使用期望和方差来求解概率时，我们就需要使用到t分布。当方差和期望不能满足我们对总体样本的预估时，就需要找到一个新的标准来代替期望和方差完成预估。这个标准就是标准分（详见《每天一点统计学——数据变异性的量度》）。

t分布的标准分计算公式如下：

t分布的标准分计算公式

t分布的概率密度函数计算公式如下：

t分布的概率密度函数

如果要构建t分布的置信区间，可使用以下计算公式：

t分布的置信区间

通过查找t分布的概率表，可以计算出t的值：

例子：有一个包含10颗彩虹糖果的样本，并且样本均值X拔 = 0.5g，样本方差s^2 = 0.09。求t的值和平均重量为95%的置信区间。

分析：

（1）使用t分布概率表，首先需要找出尾部的概率值。要求出95%的置信区间，即要在概率表中中查找0.025（（1-0.95）/ 2）。样本容量为10，即自由度为9。我们需要找出（v=9，P=0.025）的交叉值，就是t的值，即t=2.262。

（2）已知X拔=0.5， s^2 = 0.09, t=2.262,n=9,根据t分布的置信区间公式可得出：

P(0.285 <= T <= 0.715) = 0.95